Cho số A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và một chữ số khác 5. A chính phương hay không?

Bài 12. Cho số A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và một chữ số khác 5. Hỏi A có thể là số chính phương hay không?

Giải

Gọi a là chữ số khác 5 của A, ta có tổng các chữ số của A là: 1996.5 + a = 9980 + a, suy ra số dư trong phép chia của A cho 9 là số dư trong phép chia a + 8 cho 9 (*).

Nếu A là số chính phương thì A = k.k, mà số dư trong phép chia k cho 9 là: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nên số dư trong phép chia của A cho 9 là 0, 1, 4, 7. Như vậy từ (*) ta có các giá trị mà a có thể nhận được là 1 hoặc 2. Xét các trường hợp:

1)     A có chữ số tận cùng là a. Do A là 1 số chính phương nên a = 1 và A có dạng (10m +/- 1)2 = 100m2 +/- 20m + 1, suy ra chữ số hàng chục của A là số chẵn, khác 5 nên trường hợp này không xảy ra.

2)     A có chữ số tận cùng khác a, tức là 5. Suy ra A có dạng (10m + 5)2 = 100m(m + 1) + 25. Từ đó ta có a = 2 và chữ số hàng trăm của A là số chẵn (vì m(m + 1) chẵn)m tức là khác 5, mâu thuẫn với giải thiết.

Vậy không thể xảy ra trường hợp A là số chính phương

About thaytoan