Chứng minh tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

  • Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ấy.
  • Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Toán iq sẽ phát biểu các tính chất trên dưới dạng bài toán và trình bày cách chứng minh phù hợp với các em học sinh đang học trong chương trình toán 7.

Đề Bài : Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

  1. Nếu = 900 thì MA = ½ BC
  2. Nếu MA = ½ BC thì góc(A) = 900.

Giải

bai-4-chuyen-de-2

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

Ta có:

góc(AMB) = góc(NMC) (đối đỉnh)

BM = CM (giả thiết)

MA = MN (dựng hình)

Suy ra: tam giác MAB = tam giác MNC (c.g.c)

Suy ra: NC = AB và góc(MBA) = góc(MCN)

a) Do góc(MBA) = góc(MCN) nên AB // NC suy ra góc(BAC) + góc(ACN) = 1800.

Nếu góc(BAC) = 900 thì góc(ACN) = 900.

Khi đó ta có: tam giác ABC =  tam giác CNA (c.g.c) vì có AC chung; AB = NC (cmt) và góc(BAC) = góc(ACN) = 900.

Ta có: AN = BC => AM = ½ BC

b) Ta có: MA = ½ AN. Nếu MA = ½ BC thì AN = BC.

Lại có AB = CN (cmt)

Suy ra tam giác ABC =  tam giác CNA (c.c.c), suy ra: góc(BAC) = góc(ACN)

Mà góc(BAC) + góc(ACN)  = 1800 (vì AB // CA) nên góc(BAC) = 900 (dpcm)

About thaytoan