Gọi số gia đình là n (n > 1), thì số người lớn (bố, mẹ) là 2n. Theo điều kiện bài toán ta có:
Tổng số con > 2n > số con trai > số con gái > n (1)
– Từ (1) ta suy ra: số con trai tối đa là 2n – 1, số con gái tối đa là 2n – 2. Vậy số trẻ con tối đa là 4n – 3.
– Cũng từ (1) suy tương tự số trẻ con tối thiểu là 2n + 3. Kết hợp với trên ta có n phải thỏa mãn:
4n – 3 > 2n + 3 hay n >= 3 (2)
– Mặt khác, có một gia đình có số con lớn hơn tổng số con của n – 1 gia đình còn lại. Gia đình nào cũng có con và số con của mỗi gia đình khác nhau. Vậy tổng số con của n – 1 gia đình sau tối thiểu là 1 + 2 +… + (n – 1) = n(n – 1)/2, suy ra số con gia đình đông nhất tối thiểu là: n(n – 1)/2 + 1.
Từ đó ta suy ra tổng số con tối thiểu là: n(n – 1) + 1.
Vậy n cần thỏa mãn: 4n – 1 >= n(n – 1) + 1.
Biến đổi ta được: (4 – n)(n – 1) >= 0 hay 4 >= n >= 1.
Kết hợp với (2) ta suy ra được: 4 >= n >= 3 (3)
– Ta có mỗi gia đình đều có con trai và tối đa 2 con gái. Vậy số con trai của gia đình đông con nhất tối thiểu là:
n(n – 1)/2 + 1 – 2 = n(n – 1)/2 – 1
Từ đó suy ra tổng số con trai tối thiểu là:
n(n – 1)/2 – 1 + (n – 1) = (n^2 + n – 4) / 2
Và n phải thỏa mãn: 2n – 1 >= (n^2 + n – 4)/2 hay: -n^2 + 3n + 2 = 0 (4)
Kết hợp (3) và (4) ta chỉ có n = 3 thỏa mãn. Vậy số gia đình trong tòa nhà là 3.
– Từ (1) ta có 6 > số con trai > số con gái > 3. Vậy số con trai là 5, số con gái là 4, số con cả thảy là 9. Vì gia đình nào cũng có con và số con của mỗi gia đình khác nhau, suy ra số con của gia đình đông nhất chỉ có thể là 5 hoặc 6. Ta xét từng khả năng đó:
– Gia đình đông con nhất có số con là 5: Ta có ngay kết quả: một gia đình có 1 con và là con trai, gia đình có 3 con trong đó có 1 con trai và 2 con gái, gia đình đông con nhất có 5 con trong đó có 3 con trai và 2 con gái, thỏa mãn tất cả các yêu cầu của đề bài.
– Gia đình đông con nhất có số con là 6: Khi đó hai gia đình kia, một gia đình có 1 con và 1 gia đình có 2 con và số con gái của hai gia đình tối đa mới là 3. Trường hợp này không thỏa mãn.
Trả lời