[Toán 7] Chứng Minh (AB + AC – BC)/2 < AM < (AB + AC)/2

Toán IQ xin trả lời phụ huynh có email: hthuutuyen@gmail.com đã gửi một bài toán hình về cho chúng tôi. Rất mong lời giải sau đây sẽ làm hài lòng anh/chị.

Đề bài: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng:  (AB + AC – BC)/2 < AM < (AB + AC)/2.

Lời giải:

Xét các tam giác MAB và MAC, ta lần lượt có: AM > AB – BM; AM > AC – MC.

Suy ra: 2AM > AB + AC – (BM + MC) = AB + AC – BC do đó: AM > (AB + AC – BC)/2 (1)

Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét tam giác MAB và tam giác MDC, ta có:

MA = MD (cách dựng D)

góc(AMB) = góc(CMD)

BM = CM (M là trung điểm BC)

Vậy tam giác MAB = tam giác MDC (c.g.c), suy ra: CD = AB

Xét tam giác ACD, ta có AD < AC + CD, suy ra 2AM < AC + AB, do đó: AM < (AB + AC)/2 (2)

Từ (1) và (2) ta có: (AB + AC – BC)/2 < AM < (AB + AC)/2 (đpcm).

Lưu ý: Bài toán áp dụng mối quan hệ giữ ba cạnh của một tam giác để chứng minh, tính chất đó có thể được phát biểu ngắn gọn như sau: “Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại. Hiệu của hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lai.”

 

 

 

About thaytoan